Гравитация
Я
предлагаю моим друзьям Профессору, Инженеру и Бизнесмену ряд
потрясающих научных открытий и бизнес-проектов. И вас, уважаемые господа
школьники, я приглашаю принять участие в обсуждении моих гениальных
замыслов!
Барон Мюнхаузен
Проект 1. Парабола или прямая? |
Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то барон прав! Одно ядро движется относительно другогоравномерно и прямолинейно! Докажем это. Рассмотрим два снаряда, летящие навстречу друг другу. Пусть в некоторый момент времени скорость первого снаряда равна , а второго (рис. 1.1). Поскольку оба снаряда движутся с постоянным ускорением (силой сопротивления воздуха мы пренебрегаем), то скорости снарядов будут изменяться со временем по следующим законам: Тогда скорость первого снаряда относительна второго будет равна То
есть один снаряд в системе отсчета, связанной с другим снарядом,
движется равномерно и прямолинейно (именно это и утверждает барон!). На
самом деле пренебрегать сопротивлением воздуха в условиях данной
задачи, конечно, нельзя! Но если бы все описанные события происходили на
Луне, то барон был бы прав на все 100%! Заметим,
что прямолинейные траектории движения обоих снарядов реально увидел бы
любой наблюдатель, который находился в свободно падающей системе
отсчета, то есть в системе отсчета, движущейся с ускорением . В
системе отсчета же, связанной с Землей, траектории движения обоих
снарядов, конечно, параболы! Так что Профессор совершенно прав! Вопрос же о том, какой «на самом деле» является траектория движения снаряда, не имеет смысла! Правы
оба: и Профессор и барон! Дело в том, что траектория — линия, вдоль
которой движется тело, зависит от выбора системы отсчета, в которой мы
наблюдаем данное движение. Ведь никого не удивляет, что траектория
движения чемодана, стоящего на полке в поезде, относительно поезда —
точка! А относительно вокзала, от которого отправился поезд, траектория
чемодана — кривая, совпадающая с железнодорожным полотном. Точно
так же бессмысленно ставить вопрос о том, что вокруг чего вращается:
Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли. В системе отсчета, в
которой неподвижно Солнце, Земля вращается вокруг Солнца, а в системе
отсчета, в которой неподвижна Земля, Солнце вращается вокруг Земли. И с
точки зрения физики оба эти утверждения правильны!
Проект 2. Все дома стоят криво |
Тут
барон совершенно прав: дома действительно стоят «криво»! Вертикальность
стен проверяют с помощью отвесов, как верно заметил Инженер, но всё
дело в том, что сами отвесы висят не вертикально, как верно догадался Профессор. Докажем это. Рассмотрим отвес, подвешенный где-нибудь на широте Москвы (рис. 2.1). На груз отвеса действует сила тяготения ,
направленная к центру Земли. Поскольку Земля вращается вокруг своей
оси, то груз тоже вращается вместе с Землей с периодом вращения Т = 24 ч и угловой скоростью Центростремительное ускорение направлено при этом к точке O' (см. рис. 2.1). Сила натяжения нити при этом должна быть такой, чтобы согласно второму закону Ньютона в сумме с силой сообщить грузу центростремительное ускорение : . Как видим, для этого сила «вынуждена»
отклониться от вертикали по направлению к Северному полюсу, то есть
нить должна висеть не «прямо», а «наклонно». «Почему же мы не видим
этого отклонения», — спрашивает Бизнесмен. Да потому, что величина
вектора очень мала по сравнению с величиной векторов и . В
самом деле, пусть груз отвеса имеет массу 1 кг, а широта местности
равна φ = 60°. Тогда радиус окружности, по которой вращается отвес,
равен r = Rcosφ = 6400000·cos60° = 3200000 м. Центростремительное ускорение равно a = ω2r = (7,27·10–5)2 · 3200000 ≈ 0,0169 м/c2. Тогда ma = (1 кг)·(0,0169 м/c2) = 0,0169 Н. А величина FT = mg = (1 кг)·(9,8 м/c2) = 9,8 Н. Как видим, ma значительно меньше FT,
поэтому угол α, который нить отвеса составляет с вертикалью, очень мал,
и заметить отклонение от вертикали «на глазок» совершенно невозможно! А
теоретически барон, как всегда, безусловно, прав! |
Проект 3. Из Москвы в Питер за полчаса |
Какая сила разгонит поезд?Начнем с возражения Профессора. Ему непонятно, какая сила будет разгонять поезд, если у поезда нет двигателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, рассмотрим рис. 3.1. Мы видим, что Москва (точка М) и Питер (точка П) соединены отрезком прямой МП. Проведем ось х в направлении от М к П. На поезд, находящийся в точке М, действует сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила нормальной реакции , направленная перпендикулярно отрезку МП. Проекция силы на ось х равна нулю, поэтому эта сила никак не повлияет на движение поезда, а вот проекция силы на ось х — величина положительная: mgx > 0, поэтому сила тяжести будет сообщать поезду ускорение в направлении оси х, то есть от Москвы к Петербургу. Таким образом, разгонять поезд будет сила тяжести! Как будет двигаться поезд?По второму закону Ньютона mgx = max, следовательно, ускорение, с которым поезд будет двигаться в момент начала движения из Москвы, равно: ax = gx. Оценим величину этого ускорения. Радиус Земли равен: R = OM = 6400 км, расстояние от Москвы до Петербурга — примерно 600 км: МП = 600 км, следовательно, половина этого расстояния MO' = 300 км. Тогда Следовательно, всего через 100 с после начала движения поезд барона уже будет мчаться с весьма приличной скоростью 46 м/c! Правда
в процессе движения величина силы тяжести будет изменяться, так как
будет уменьшаться расстояние от поезда до центра Земли, но это изменение
будет крайне незначительным. В самом деле, вычислим OO' — расстояние до центра Земли в самом глубоком месте тоннеля. По теореме Пифагора из треугольника MOO' находим: То есть максимальная глубина тоннеля равна hmax = OM – ОO' = 6400 км – 6392 км = 8 км. По сравнению с радиусом Земли это очень небольшая величина! Поэтому изменением величины силы тяжести во время движения поезда мы будем пренебрегать. Но вот изменением направления силы тяжести в процессе движения пренебрегать никак нельзя. Заметим, что до достижения поездом точки O' проекция силы тяжести на ось х — величина положительная, в точкеO' она обращается в нуль, в этой точке скорость поезда достигает своего максимального значения. На участке O'П проекция силы тяжести на ось х — величина отрицательная, поэтому поезд начинает замедляться и в точке П останавливается. Резонно спросить: а почему он остановится именно в точке П,
а не где-нибудь в другом месте? Дело в том, что при отсутствии трения
полная механическая энергия поезда должна сохраниться. Поскольку в точке Мравна нулю и потенциальная, и кинетическая энергия поезда, а в точке П потенциальная энергия тоже равна нулю (точки П и М находятся на одинаковом расстоянии от центра Земли), то и кинетическая энергия в точке П должна равняться нулю. А значит, именно в точке П поезд остановится сам безо всяких тормозов! Можно ли на самом деле обойтись без двигателя?Теоретически получается,
что можно. И не только без двигателя, но и без тормозов. Но вот
практически... Инженер, как человек, мыслящий практически, очень резонно
возражает: «Не может быть поезда без двигателя!» И он совершенно прав,
прежде всего, потому, что в реальном тоннеле обязательно будет иметь
место трение. Даже если наш поезд будет на магнитной подвеске, а в
тоннеле будет вакуум, на 100% трение мы устранить не сможем. Это,
во-первых. А во-вторых, ведь возможны и внештатные ситуации, например,
пожар! Значит нельзя исключить возможности экстренной остановки в
середине тоннеля! Поэтому нужен и двигатель, и тормоза, причем очень
мощные: скорость нашего поезда очень велика! Другое дело, что в штатном режиме и двигатель, и тормоза будут задействованы лишь на ничтожную долю процента от своих возможностей, а в идеале,
как мы уже выяснили, они вообще не нужны. Так что экономия энергии, по
сравнению с движением обычного экспресса «Москва—Санкт-Петербург», будет
очень большой. Неужели поезд быстрее самолета?Самолет
ТУ-154 летит от Москвы до Питера примерно 1 час. Барон обещает
сократить время движения до 42 мин, что вызывает, мягко выражаясь,
удивление у нашего Бизнесмена: представляется маловероятным, чтобы поезд
обогнал самолет. Сделаем грубую оценку времени
движения поезда, доступную для понимания даже учеников 9-го класса.
Начнем с упрощающего предположения: будем считать, что поезд в тоннеле
движется равноускоренно (на самом деле это не так!). В начале своего
движения поезд имеет ускорение 0,46 м/c2, в середине пути ускорение равно нулю. Будем считать, что приблизительно такое движение можно считать равноускоренным с постоянным ускорением Тогда задача стоит так: тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением a = 0,23 м/c 2 и проходит путь s = МО' = 300 км. Надо найти время движения. Воспользуемся известной кинематической формулой , отсюда Поскольку
торможение будет происходить с таким же по модулю ускорением, то ясно,
что на торможение до полной остановки потребуется такое же время, как и
на разгон, — 27 минут. Значит, общее время движения составит:
27 + 27 = 54 минуты, что очень неплохо согласуется с тем, что говорил
барон, — 42 минуты. Точный расчет,
который мы здесь приводить не будем, показывает, что движение поезда в
тоннеле очень близко к колебанию математического маятника и происходит
практически по гармоническому закону, а период колебаний составляет
84 минуты. Время движения поезда из Москвы в Петербург как раз равно
половине периода — 42 минуты, так что барон совершенно прав, а его
проект с чисто теоретической точки зрения —
просто замечательный! Ну, а скептические соображения по части его
практической реализации вы наверняка сможете привести самостоятельно.
|
Барон: Друзья мои! Я сделал потрясающее открытие! Оказывается, все тела, брошенные под углом к горизонту, движутся прямолинейно! Я убедился в этом, когда, сидя на ядре, наблюдал за встречным ядром, на которое потом пересел. Клянусь вам, оно двигалось по прямой, а вовсе не по параболе, как утверждают некоторые профессора!
Профессор: Барон, но ведь ваш полет наблюдало большое количество людей! Все они говорят в один голос: и вы, и встречное ядро двигались по параболам.